La risposta è esatta!La risposta è esatta!Solo l'applicazione F : R ® R2 definita da F(x) = (2x, 3x) è lineare. Infatti :
siano v, w Î R vettori arbitrari, k Î R.
Si ha F(v) = (2v, 3v) e F(w) = (2w, 3w). Perciò
F(v + w) = F(v + w) = [2(v + w), 3(v + w)] = (2v + 2w, 3v + 3w) = (2v, 3v) + (2w, 3w) = F(v) + F(w)
e F(kv) = F(kv) = (2kv, 3kv) = k(2v, 3v) = kF(v).Invece le applicazioni
F : R3 ®
R2 definita da F(x, y, z) = (x + 5, y + z) e F : R ®
R2 definita da F(x) = (x, 1)
non sono lineari in quanto il vettore nullo non viene mandato nel vettore nullo.
Infine l'applicazione F : R2 ®
R definita da F(x, y) = ½
x - y½ non è lineare in quanto
"
v Î
R2, "
k Î
R si ha
F(kv) ¹ kF(v) .
Infatti sia v = (2, 5) e k = -3, allora kv = (-6, -15) .
Si ha F(v) = 3 e quindi kF(v) = -3 × 3 = -9.
Allora
F(kv) = F(-6, -15) = 9 ¹ -9 = kF(v).