Esame virtuale : 10 domande sugli autovalori, gli autovettori e la diagonalizzazione.
Domanda n. 1

La similitudine è :

una relazione d'ordine
una relazione di equivalenza
una relazione che soddisfa solo la proprietà transitiva


 
Domanda n. 2

Due matrici sono simili se e solo se :

hanno lo stesso determinante
rappresentano due diversi operatori lineari rispetto alla stessa base
rappresentano lo stesso operatore lineare rispetto a due diverse basi


 
Domanda n. 3

La condizione per un autovettore di essere non nullo è :

necessaria, in quanto altrimenti tutti gli scalari sarebbero suoi autovalori
necessaria, in quanto altrimenti nessuno scalare può essere suo autovalore
non indispensabile


 
Domanda n. 4

Dal punto di vista geometrico lo studio degli autovettori e dei autovalori nasce dal voler stabilire se :

esistono vettori non nulli la cui immagine, tramite un'operatore lineare,
sia un vettore con lo stesso verso
esistono vettori non nulli la cui immagine, tramite un'operatore lineare,
sia un vettore con la stessa direzione
esistono vettori non nulli la cui immagine, tramite un'operatore lineare,
sia un vettore con lo stesso modulo


 
Domanda n. 5

Con quale definizione coincide il nucleo di un'operatore lineare, Ker F ?

con la definizione dell'autospazio relativo all'autovalore l = 0
con la definizione dell'autospazio relativo all'autovalore l = 1
con la definizione dell'autospazio relativo all'autovalore l = -1


 
Domanda n. 6

Sia V uno spazio vettoriale, dim V = n, e sia F Î End(V). Allora :

F possiede al più n autovalori
F possiede almeno n autovalori
F possiede sempre esattamente n autovalori


 
Domanda n . 7

Quale delle seguenti affermazioni è esatta ?

ogni operatore di uno spazio vettoriale reale di dimensione pari
possiede almeno un autovalore e quindi possiede autovettori
ogni operatore di uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita
possiede almeno un autovalore, e quindi possiede autovettori
ogni operatore di uno spazio vettoriale reale di dimensione dispari
può non avere nessun autovalore e quindi non possedere alcun autovettore


 
Domanda n. 8

Sia F Î End(V) e l Î K autovalore di F. Se il campo K è algebricamente chiuso l'operatore F è diagonalizzabile se e solo se si ha :

la molteplicità geometrica non supera la molteplicità algebrica di ogni autovalore l
la molteplicità geometrica supera la molteplicità algebrica di ogni autovalore l
la molteplicità geometrica e la molteplicità algebrica di ogni autovalore l coincidono


 
Domanda n. 9

Sia dim (V) = n ed F Î End(V). Allora :

se F possiede n autovalori distinti, allora F è diagonalizzabile.
F possiede n autovalori distinti se e solo se F è diagonalizzabile.
se F possiede n autovalori uguali, allora F è diagonalizzabile.


 
Domanda n. 10

Quale delle tre seguenti affermazioni è esatta ?

autovettori relativi ad autovalori uguali sono linearmente dipendenti
autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente dipendenti
autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti

 

 
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