Si noti che la condizione sufficiente di diagonalizzabilità espressa dal corollario non è necessaria.
Il corollario fornisce un metodo pratico per calcolare autovettori e autovalori di un operatore o di una matrice. Scegliendo una base di V ci si riduce a considerare il solo caso delle matrici.
Sia dunque assegnata A Î Mn(K). Si cominci con il calcolarne gli eventuali autovalori, che si trovano calcolando il polinomio caratteristico PA(t) e le sue radici in K.
Per ogni autovalore l
Î K, il sistema omogeneo di n equazioni nelle n incognite X = t(X1 ... Xn) :
(A - l
In)X = 0
ha rango r <
n e possiede quindi soluzioni non banali. Lo spazio delle soluzioni è l'autospazio Vl
(A). Se la somma delle dimensioni degli autospazi così trovati al variare di l
tra tutte le radici di PA(t) è uguale a n, allora A è diagonalizzabile. Una base diagonalizzante si ottiene scegliendo una base di ciascun autospazio e prendendone l'unione.
Osservazione