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Osservazioni


 

  1. Se L = a1h 1 + ... + anh n Î V*, si ha

    2.  

    L(x1e1 + ... + xnen) = (a1h 1 + ... + anh n) (x1e1 + ... + xnen) =

    = (a1h 1) (x1e1 + ... + xnen) + ... + (anh n) (x1e1 + ... + xnen) =

    = a1x1 + ... + anxn,

    perché h i (x1e1 + ... + xnen) = xi, i =1, ..., n.

    Quindi

    ogni funzionale lineare su V si esprime in modo unico come un polinomio omogeneo di primo grado nelle coordinate dei vettori rispetto alla base { e1, e2, ..., en} . I coefficienti del polinomio sono le coordinate del funzionale rispetto alla base duale { h 1, ..., h n} .

    In particolare, se V = Kn , e { E1, E2, ..., En} è la base canonica, ogni funzionale lineare L su Kn si esprime in modo unico come un polinomio omogeneo di primo grado :

    L(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + ... + anxn.

     

  2. Se si sceglie una base { e1, e2, ..., en} di V, resta definita la base duale { h 1, ..., h n} di V*, e un isomorfismo j (ei) = h i , i = 1, ..., n. L'isomorfismo j dipende dalla base assegnata, cioè se si sceglie un'altra base di V, si ottiene un isomorfismo diverso da j .