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Introduciamo un nuovo modo di considerare le matrici : vederle come applicazioni da Kn ad Km.
Se V = Kn , W = Km e v e w sono le basi canoniche di Kn e di Km rispettivamente, l'applicazione
FA : Kn ® Km associata a una matrice A Î Mm,n(K) è data da

FA(x) = A × x

per ogni x Î Kn ,

se gli elementi di Kn e di Km sono visti come vettori colonna.

Quindi alla matrice

A = Î M2,3(R)

è associata l’applicazione lineare F : R3 ® R2 così definita:

F(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + 5x3, 3x1 + x2 – x3).
Viceversa associamo ad un'applicazione data F : Kn ® Km una matrice A Î Mm,n(K).
La corrispondente matrice ha per prima, seconda, … ,m-esima riga i coefficienti di F1(x1, x2, … , xn), F2(x1, x2, … , xn),
… , Fm(x1, x2, … , xn).
Infatti all’applicazione lineare F : R4 ® R3 seguente:

F(x1, x2, x3, x4) = (2x1 - x3 + x4, x2 - 7x3 + 3x4, x1 - x2 + x3 + 5x4)

è associata la matrice

,