Trovare un’applicazione lineare F: R³® R⁴ la cui immagine sia generata da : (1, 2 ,0 ,- 4) e (2, 0, - 1, - 3).

Consideriamo la base canonica di R³ :

e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1).

Poniamo F (e₁) = (1, 2, 0, -4), F (e₂) = (2, 0, -1, -3) , F (e₃) = (0, 0, 0, 0).
Per un teorema noto, l’applicazione lineare esiste ed è unica. L’ immagine di F è generata dalle F (e_i) :

F (x, y, z) = F (xe₁ + ye₂ + ze₃) = xF (e₁) + yF (e₂) + zF (e₃) = = x(1, 2, 0, -4) + y(2, 0, -1, -3) +z(0, 0, 0, 0) =

= (x + 2y, 2x, - y, - 4x - 3y).

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