Poiché V ha dimensione finita, anche ker (F), che è un sottospazio di V, ha dimensione finita.
Sia s = dim (Ker (F)). Fissiamo una base { n₁, … ,n_s} di Ker (F), e siano v_s+1, ... ,v_n Î V tali che
{ n₁, …, n_s, v_s+1, …, v_n} sia una base di V.
Sarà sufficiente dimostrare che { F (v_s+1), …, F (v_n) } è una base di Im (F).
Ogni vettore w Î Im (F) è della forma :

w = F (a₁n₁ + … + a_sn_s + b_s+1v_s+1 + … + b_nv_n) = a₁F (n₁) + … + a_sF (n_s) + b_s+1F (v_s+1) + … + b_nF (v_n) =

= b_s+1F (v_s+1) + … + b_nF (v_n),

per opportuni scalari a₁, a₂, …, a_s, b_s+1, …, b_n. Quindi F (v_s+1), …, F (v_n) generano Im (F).
Supponiamo che c_s+1, …, c_n Î K siano tali che

Allora

e quindi c_s+1 v_s+1 + … + c_nv_n Î Ker (F). Poiché { n₁, …, n_s} è una base di N (F), esistono d₁, …, d_s Î K tali che

cioè tali che

Ma n₁, ..., n_s, v_s+1, …, v_n sono linearmente indipendenti, e quindi tutti i coefficienti sono nulli; in particolare

c_s+1 = … = c_n = 0 ed F(v_s+1), …, F(v_n) sono linearmente indipendenti.

Si noti che nell’enunciato del teorema non si è supposto che W abbia dimensione finita.