Dimostriamo che il nucleo di F è un sottospazio di V.

Poiché F è lineare F (0) = 0, 0 Î Ker(F). Supponiamo che sia v, w Î Ker(F) allora F (v) = 0 e F (w) = 0 .

Siano k₁,k₂ Î K perciò si ha:

F (k₁v + k₂w) = k₁F (v) + k₂F (w) = k₁0 + k₂0 = 0

e quindi k₁v + k₂w Î KerF .

Dimostriamo che l’immagine di F è un sottospazio di W.

Poiché F (0) = 0, essendo F lineare, 0 Î Im F.

Siano k₁, k₂ Î K e siano w, w₁ Î Im F , allora esistono dei vettori v, v₁ Î V tali che

Allora