Dimostrazione
Se F, e, f esistono, allora da
Mf(F) = Me, f(1V) -1 Me(F) Me, f(1V)
Segue che A e B sono simili.
Supponiamo viceversa che
B = M -1AM.
Sia e una base arbitraria di V e sia F = FA l’operatore associato alla matrice A rispetto alla base e.
Per ogni j = 1, … ,n sia fj il vettore le cui coordinate rispetto a e sono gli elementi della j-esima colonna di M, cioè: fj = m1je1 + m2je2 + … + mnjen.
Poiché M ha rango n, i vettori f1, … , fn sono linearmente indipendenti e quindi { f1, … , fn} è una base di V. Si ha inoltre
M = Me, f(1V).
Da B = M -1AM discende che B = Mf(F).