Dimteorema2diagonal

Dimostrazione

Per ogni i = 1, 2, ... ,k poniamo d(i) = dim(V_{l
_i}(F)), e sia {e_i1, ... , e_id(i)} una base di V_{l
_i}(F).
Poiché un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se V possiede una base costituita da autovettori di F sarà sufficiente dimostrare che i vettori

e₁₁, ... , e_1d(1), e₂₁, ... , e_2d(2), ... , e_k1, ... , e_kd(k)

sono linearmente indipendenti.

Supponiamo che si abbia

0 = c₁₁e₁₁ +...+c_1d(1)e_1d(1) + c₂₁e₂₁+...+c_2d(2)e_2d(2)+...+c_k1e_k1+...+c_kd(k) e_kd(k)

[1]

per opportuni scalari c_ij.

Ponendo v_i = c_i1e_i1 + ... + c_id(i)e_id(i), si ha v_i Î V_{l
_i}(F) e la [1] può essere riscritta nella forma seguente :

0 = v₁ + v₂ + ... + v_k.

[2]

Poiché v_i = 0 se e solo se c_i1 = c_i2 = ... = c_id(i)= 0, sarà sufficiente dimostrare che v₁ = v₂ = ... = v_k= 0.
Se v_i ¹ 0, allora v_i è un autovettore relativo a l _i e {v₁, v₂, ... , v_k} / {0} è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Quindi il secondo membro della [2] può essere uguale al vettore nullo se e solo se tutti gli addendi sono 0.