Dimostrazione

 

F - l 1V non è un isomorfismo se e solo se Ker(F - l 1V) ¹ á 0 ñ, cioè se esiste v Î V,
v ¹ 0, tale che (F - l 1V)(v) = 0, ovvero tale che F(v) = l v.
Quindi F possiede l'autovettore v con autovalore l
Equivalentemente sia e = {e1, ... , en} una base di V e, sia A =(aij) = Me(F) Î Mn(K).
Per determinare i vettori colonna X Î M n,1( K) tali che A × X = l ×X dovrà aversi :
A × X - l ×X = 0.
Ma l ×X puó essere scritto come
l ×In ×X , dove In è la matrice identitá in Mn(K). Cioè :
A × X - l × In × X = (A - l × In) X = 0.
Le soluzioni, diverse dal vettore nullo, di questo sistema omogeneo saranno gli autovettori di A. Il sistema ha soluzione non nulla se e solo se il rango di A - l × In < n, quindi esisteranno autovalori per A se e solo se
det( A - l × In) = 0. Poichè la matrice associata all'operatore l 1V è :

 

quindi

det(A - l × In) = det[Me(F - l 1V)] = = 0.