Dimostrazione

 

L'asserzione è vera se k = 1, perché v1 ¹ 0.
Procediamo per induzione su k , e supponiamo k ³ 2.

Se

c1v1 + c2v2 + + ckvk = 0,

[1]

allora, applicando F ad entrambi i membri, si ha anche

c1F(v1) + c2F(v2) + + ckF(vk) = 0,

cioè

c1l 1v1 + c2l 2v2 + + ckl kvk = 0.

[2]

D'altra parte, moltiplicando ambo i membri della [1] per l 1, si ottiene

l 1c1v1 + l 1c2v2 + +l 1ckvk = 0,

[3]

e sottraendo la [3] dalla [2] :

c2(l 2-l 1)v2 + + ck(l k-l 1)vk = 0.

[4]

Per l'ipotesi induttiva v2, ,vk sono linearmente indipendenti, e quindi i coefficienti del primo membro della [4] sono tutti uguali a 0.
Poiché l j - l 1 ¹ 0 per ogni j, si deduce che c2 = = ck = 0.
Quindi la [1] si riduce a c1v1 = 0, e questa identità implica che anche c1 = 0, perché v1¹ 0.