L'asserzione è vera se k = 1, perché v1 ¹ 0.
Procediamo per induzione su k , e supponiamo k ³ 2.
Se
c1v1 + c2v2 + … + ckvk = 0, | [1] |
allora, applicando F ad entrambi i membri, si ha anche
c1F(v1) + c2F(v2) + … + ckF(vk) = 0,
cioè
c1l 1v1 + c2l 2v2 + … + ckl kvk = 0. | [2] |
D'altra parte, moltiplicando ambo i membri della [1] per l 1, si ottiene
l 1c1v1 + l 1c2v2 + … +l 1ckvk = 0, | [3] |
e sottraendo la [3] dalla [2] :
c2(l 2-l 1)v2 + … + ck(l k-l 1)vk = 0. | [4] |
Per l'ipotesi induttiva v2, … ,vk sono linearmente indipendenti, e quindi i coefficienti del primo membro della [4] sono tutti uguali a 0.
Poiché l
j - l
1 ¹ 0 per ogni j, si deduce che c2 = … = ck = 0.
Quindi la [1] si riduce a c1v1 = 0, e questa identità implica che anche c1 = 0, perché v1¹ 0.