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Dimostrazione

Se F esiste è unica, perché per ogni

v = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n Î V

si deve avere per la linearità di F :

F (v) = x₁F (e₁) + … + x_nF (e_n) = x₁w₁ + x₂w₂ + … + x_nw_n

[1]

ed i coefficienti x₁, x₂, …, x_n sono univocamente determinati perché e è una base.

Sarà pertanto sufficiente dimostrare che l’applicazione F definita da [1] è lineare.

Se v = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n e v₁ = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_nsono elementi di V, si ha :

F (v + v₁) = (x₁ + y₁)w₁ + (x₂ + y₂)w₂ + … + (x_n + y_n)w_n =

= (x₁w₁ + x₂w₂ + … + x_nw_n) + (y₁w₁ + y₂w₂ + … + y_nw_n) = F (v) + F (v₁)

Se c Î K e v = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n si ha :

F (cv) = cx₁w₁ + cx₂w₂ + … + cx_nw_n = c (x₁w₁ + x₂w₂ + … + x_nw_n) = cF (v).

Quindi F è lineare.