Dimostriamo la prima affermazione.

Siano c₁,…,c_n Î K scalari non tutti nulli tali che

c₁v₁ + … + c_nv_n = 0.

Allora si ha :

c₁w₁ + … + c_nw_n = c₁F (v₁) + … + c_nF (v_n) = F (c₁v₁ + … + c_nv_n) = F (0) = 0,

e quindi w₁,…,w_n sono linearmente dipendenti.