Dimostrazione

 

Sia LÎ V* e a1= L(e1), a2= L(e2), ..., an= L(en).

Il funzionale a1h 1 + a2h 2 + ... + anh n soddisfa l'identità

(a1h 1 + a2h 2 + ... + anh n)(ei) = (a1h 1)(ei) + ... + (aih i)(ei) + ... + (anh n)(ei) =

= a1h 1 (ei) + ... + aih i (ei) + ... + anh n (ei) = aih i (ei) = ai, i = 1, ..., n

e quindi a1h 1 + a2h 2 + ... + anh n ha gli stessi valori di L sulla base

{ e1, e2, ..., en} .

Dal teorema sull'applicazione lineare, determinata univocamente dai valori che assume sugli elementi di una base, discende che

a1h 1 + a2h 2 + ... + anh n = L.

Quindi h 1, ..., h n generano V*.

Supponiamo ora che a1, ..., anÎ K siano tali che

a1h 1 + a2h 2 + ... + anh n = 0.

Allora, per ogni i = 1, ..., n :

0 = 0(ei) = (a1h 1 + a2h 2 + ... + anh n )(ei) =

= a1h 1(ei) + ... + aih i(ei) + ... + anh n(ei) = aih i(ei) = ai.

Quindi a1 = ... = an = 0, e pertanto h 1, ..., h n sono anche linearmente indipendenti.