Osservazioni

Le due condizioni sono equivalenti all’unica condizione

" v, w Î V e c1, c2 Î K. Infatti prendendo c1 = c2 = 1 ritroviamo la prima condizione e prendendo c2 = 0 la seconda; viceversa se F soddisfa le due condizioni, allora

F (c1v + c2w) = F (c1v) + F (c2w) = c1F (v) + c2F (w),

dove la prima uguaglianza segue dalla prima condizione e la seconda dalla seconda condizione.
In altri termini, F: V ® W è lineare se conserva le due operazioni basilari in uno spazio vettoriale, addizione vettoriale e moltiplicazione per uno scalare.
Si osservi che la seconda condizione, applicata a c1 = 0 e v Î V qualsiasi, implica che se F è lineare F (0) = 0, cioè ogni applicazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo.
Si osservi, anche, che se la funzione F è lineare si ha : F(-v) = -F(v). Infatti F(-v) =F [(-1)v] = (-1)F(v) = - F(v).
Più in generale, per ogni scalare ci Î K e per ogni vettore vi Î V otteniamo la proprietà fondamentale delle applicazioni lineari:

F (c1v1 + c2v2 + … + cnvn) = c1F (v1) + c2F (v2) + …+ cnF (vn).