Soluzione


Il modo più semplice per dare F è assegnare F(v1), F(v2), F(v3) dove (v1, v2, v3) è una base di R3 scelta adeguatamente.
Conviene prendere v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, -1), che sono linearmente indipendenti, poi si sceglie v3 in modo da completare v1, v2 a una base. Ad esempio si può prendere v3 = (0, 0, 1) : infatti la matrice avente per righe v1, v2, v3 è ridotta.
Ciò fatto un'applicazione lineare F che verifica le due proprietà è determinata dalle seguenti uguaglianze :

F(v1) = (0, 0); F(v2) = (0, 0); F(v3) = (1, 0).

(Si osservi che vi sono infinite altre applicazioni lineari R3® R2 che verificano le due proprietà : ad esempio si può porre F(v3) = a(1, 0) qualunque sia a ¹ 0, mentre ovviamente F(v1), F(v2) devono sempre essere nulli.)