Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 3 sul campo C e T : V® V l'unico operatore lineare tale che :

dove B = { b₁, b₂, b₃} è una base di V.

1. Stabilire se T è diagonalizzabile e in caso affermativo trovare una base diagonalizzante.
2. Si considerino i sottospazi vettoriali W:= á b₁, b₂ñ e U:= á b₃ñ . Determinare dimT(W) e dimT(U).

E' vero che T(W) + T(U) = T(W) Å T(U) ? (Motivare la risposta).
3. Supposto che V = C³ e che B sia la base canonica di C³ determinare l'espressione analitica dell'applicazione lineare p T : C³® WÌ C³, dove p è la proiezione su W lungo la direzione b₃ (=e₃).

Sia B = { e₁, e₂, e₃} la base canonica di R³ e F_h l'endomorfismo definito dalle condizioni :

Al variare di hÎ R,

1. studiare det(F_h),
2. determinare una base di Im(F_h) e di Ker(F_h),
3. stabilire se esistono vettori v Î R³ tali che F_h(v) = v.
4. Provare che R³ = Im(F_-1) Å Ker(F_-1),
5. determinare (F_-1)^-1(e₁ + 2e₂ - e₃),
6. determinare (F_-1)^-1(S Ç Im(F_-1)), dove S := á e₁, e₂ñ .

Sia B = { e₁, e₂, e₃} la base canonica di R³ e F : R³ ® R³ l'applicazione lineare per cui F(e₁) = e₁ + e₂ e il sottospazio vettoriale á e₂, e₃ +e₁ñ è autospazio di F rispetto all'autovalore 3.

1. Determinare M_B(F),
2. stabilire se F è diagonalizzabile ed in caso affermativo trovare una base diagonalizzante B' e la matrice del cambiamento di base M_B,B'(Id),
3. determinare almeno tre distinti sottospazi vettoriali WÌ R³ di dimensione due per cui valga F(W) = W,
4. determinare F ^-1(v) dove v = e₁ + e₂ + e₃. Esistono vettori w Î R³ tali che F ^-1(w) = Æ ? E tali che F ^-1(w) non sia costituito da un solo vettore? Giustificare le risposte.
5. Determinare per quali n > 0 e quali a₁, ..., a_n Î R il funzionale lineare F : Rⁿ ® R,