Formule di sottrazione

se non interessa la dimostrazione


Consideriamo la circonferenza goniometrica e su di essa consideriamo gli angoli m, b, m-b :  

E' evidente dal disegno che i segmenti AB e CD sono uguali, si avrà quindi:
AB2 = CD2
si vede inoltre che le coordinate dei loro estremi sono:
A=( cosm , sinm ) ;

B=( cosb , sinb ) ;

C=( cos(m-b) , sin(m-b) ) ;

D=( 1 , 0)
per la formula della distanza fra due punti si otterrà:

AB2 = ( cosm - cosb )2 + ( sinm - sinb )2

e,analogamente:
CD2 = ( cos(m-b) - 1 )2 + ( sin(m-b) - 0 )2
e,di conseguenza:
(cos(m-b)-1)2 +(sin(m-b)-0)2 =(cosm-cosb)2 +(sinm-sinb)2
svolgendo i quadrati si otterrà:
cos2(m-b) + 1 - 2cos(m-b) + sin2(m-b) - 2sin(m-b) =

= cos2m + cos2b - 2cosmcosb + sin2m + sin2b - 2sinmsinb

da cui, tenendo presente la relazione fondamentale della goniometria:
1 + 1 - 2cos(m-b) = 1 + 1 - 2cosmcosb - 2sinmsinb
e,finalmente:

cos(m - b) = cosmcosb + sinmsinb
 
Per quanto riguarda la formula del seno si osservi che:

sin(m-b) = cos(1/2 - (m-b)) = cos((1/2 +b)-m)
quindi, applicando a questa la formula del coseno della differenza di due angoli sopra trovata,e ricordando le formule degli archi associati si avrà:
sin(m-b) = cos(1/2 - (m-b)) = cos((1/2 + b)- m) = cos(1/2 + b)cosm + sin(1/2 + b)sinm =

= -sinbcosm + cosbsinm

quindi la formula cercata è:

sin(m - b) = sinmcosb - cosmsinb

Per quanto riguarda le formule di sottrazione per la tangente e la cotangente, esse si ricavano con semplici passaggi direttamente da queste e sono:  

tg(m-b) = sin(m-b)/cos(m-b)=(sinmcosb - cosmsinb)/(cos(m-b) cosmcosb + sinmsinb)

naturalmente è importante supporre cosm e cosb entrambi diversi da zero, dividendo poi numeratore e denominatore cosmcosb e semplificando opportunamente si ha :

e analogamente :