In un qualunque triangolo la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due lati per il coseno dell'angolo che ciascuno di questi forma col primo:
a
= b cosg
+ c cosb b
= a cosg
+ c cosa c
= a cosb
+ b cosa
si
considerino le seguenti figure:
si
osservi che la differenza fondamentale tra i due è che mentre
nel primo il piede della perpendicolare uscente dal vertice A cade
all'interno della base opposta, nel secondo essa cade all'esterno,
quindi si avrà nel primo caso:
a = BH + HC = c cosb + b cosg
nel secondo caso:
a = BH - CH = c cosb + b cos(p - g) = c cosb + b cosg
quindi in qualsiasi caso questo teorema vale per il lato a, ragionando allo stesso modo per gli altri lati si ottiene il risultato.