QUALUNQUE

Risoluzione di un triangolo qualsiasi quando:
SONO NOTE LE MISURE DI DUE LATI E L'AMPIEZZA DI UNO DEGLI ANGOLI OPPOSTI A QUESTI

Nel triangolo ABC siano date, ad esempio, le misure dei lati b e c e l'ampiezza dell'angolo g.
Si vuol determinare le ampiezze dei rimanenti due angoli e del terzo lato.

Si supponga g (altrimenti si ritroverebbe un caso già visto), si supponga inoltre che il triangolo sia scaleno;
applicando il teorema dei seni si avrà:

c/sing = b/sinb

da cui

sinb = bsing/c

Si avranno quindi diversi sottocasi che verranno mostrati di seguito.

Se si verificasse sinb = b sing/c > 1 cioè b sing > c
il problema sarebbe impossibile, infatti non esisterebbe alcun b che lo risolva, sarebbe cioè impossibile graficamente costruire il triangolo:
Si consideri la seguente figura
sul lato CQ dell'angolo g si consideri il segmento CA = b, vale bsing = AH e poiché in questo caso si ha bsing > c, non è possibile costruire alcun triangolo, infatti la circonferenza di centro A e raggio c non ha punti di intersezione con il lato CP.
Se si verificasse sinb = b sing/c = 1 cioè b sing = c
si avrebbe b = ne seguirebbe che:
- se g > il problema sarebbe impossibile
- se g < il problema ammetterebbe una sola soluzione e il triangolo sarebbe rettangolo in B
  Si consideri la seguente figura
  è evidente che la circonferenza di centro A e raggio c = bsing è tangente in H = B al lato CP, e di conseguenza il triangolo ABC e rettangolo in B = H.
Se si verificasse sinb = b sing/c < 1 cioè b sing < c
si avrebbero due valori per b e cioè b₁ e b₂, supplementari tra loro.
Si consideri la seguente figura
e si supponga che sia b₁ l'ampiezza dell'angolo acuto e b₂ = p - b₁l'ampiezza dell'angolo ottuso. Distinguiamo ora i seguenti sottocasi:
- g < p/2
  Se c < b deve essere g < b; perciò sono accettabili entrambi i valori di b poiché vale g + b₁ < p e g + b₂ < p
  Esisteranno perciò due triangoli soddisfacenti il problema:
  
  da questa figura risulta che la circonferenza di centro A e raggio c (con bsing < c < b) interseca il lato CP nei due punti B₁ e B₂, si ottengono così due triangoli: AB₁C e AB₂C in corrispondenza dei due angoli.
  Si consideri in primo luogo il triangolo AB₁C, in esso si ha a₁ = p - (g + b₁)
  applicando il teorema dei seni si ottiene:
  a/sina₁ = c/sing , da cui a = csina₁/sing ;
  in AB₂C si ha a₂ = p - (g + b₂)
  e, sempre per il teorema dei seni
  a/sina₂ = c/sing , da cui a = csina₂/sing ;
  se c = b si ha b = g, perciò l'angolo ottuso b₂ non può risolvere il problema in quanto g + b₂ = p.
  Il problema ha una sola soluzione, in questo caso il triangolo è isoscele (vedi figura seguente)
  
  la circonferenza di centro A e raggio c, infatti, è tale che b sing < c = b, e incontra il lato CP in C e B, generando in questo modo un triangolo isoscele sulla base CB.
  Si trova a = p - (g + b₁)
  e, sempre per il teorema dei seni:
  a/sina = c/sing , da cui a = csina/sing .
  Se c > b si ha g > b, perciò l'angolo ottuso b₂ non può risolvere il problema in quanto g + b₂ > p, si ha quindi un solo triangolo.
  
  Come si vede nella figura qui sopra la circonferenza di centro A e raggio C è tale per cui : bsing < b < c;
  interseca quindi il lato CB in un solo punto, B, originando quindi un solo triangolo per il quale vale:
  a = p - (g + b₁) da cui
  a = csina/sing
- g > p/2
  questo caso è lasciato come esercizio.

RIASSUMENDO:

CONDIZIONI SOLUZIONI

b sing/c > 1 NESSUNA SOLUZIONE

g < p/2

b sing/c = 1

g > p/2

UNA SOLUZIONE

NESSUNA SOLUZIONE

c < b

g < p/2

c > b

b sing/c < 1

c > b

g > p/2

c < b

DUE SOLUZIONI

UNA SOLUZIONE

UNA SOLUZIONE

NESSUNA SOLUZIONE