In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno dell'angolo tra essi compreso:
a2
= b2 + c2 - 2 bc
cosa b2
= a2 + c2 - 2 ac
cosb c2
= a2 + b2 - 2 ab
cosg
Basterà dimostrare il teorema per un lato e ragionare allo stesso modo per gli altri due, lo dimostreremo per il lato a. Si considerino le tre uguaglianze espresse dal teorema delle proiezioni e si moltplichino entrambi i membri della prima per a, della seconda per -b, della terza per -c:
a2 = ab cosg + ac cosb
-b2 = - ab cosg - bc cosa
-c2 = - ac cosb - bc cosa
sommando membro a membro e svolgendo i calcoli si ha:
a2 - b2 - c2 = -2 bc cosa
da cui:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa
N.B. Si può considerare il teorema di Pitagora come un caso particolare del teorema di Carnot, infatti se a = 90° allora cosa = 0 e quindi a2 = b2 + c2 .