Grazie a questo teorema sarà possibile risolvere un triangolo conoscendo soltanto le misure dei suoi tre lati

Verranno dimostrate solo le prime di ciascuno dei quattro gruppi, ricavare le altre non sarà difficile e costituirà un ottimo esercizio.

Si ponga innanzitutto P = semiperimetro del triangolo.
Si consideri poi l'uguaglianza
a + b + c = 2p
e si sottragga da entrambi i membri una volta 2a, una 2b, una 2c, si otterrà:

-a + b + c = 2 (p-a)

a - b + c = 2 (p - b)

a + b - c = 2 (p - c)

Si considerino ora le due formule di bisezione

(N.B.:il doppio segno è stato eliminato poiché, essendo a angolo di un triangolo, a < 180° e quindi a/2 < 90°), per il teorema di Carnot possiamo operare la sostituzione cosa = (b² + c² - a²)/2bc e ottenere:

per quanto riguarda il coseno:

e infine: