Risoluzione dell'Esercizio 1
Per definizione l'interno (o parte interna) di un insieme è il più grande aperto contenuto nell'insieme stesso.
Abbiamo: Int(Z) = Æ , Int(S2) = (0,1).
L'esterno di un insieme è Est(S) = Int(X \ S).
Abbiamo:
Est(Z) = R \ Z, Est(S2) = (-¥ , 0) È (1, +¥).
Usiamo l'uguaglianza R = Int(S) È Est(S) È Fr(S) per determinare le frontiere:
Fr(Z) = Z, Fr(S2) = {0}È{1} .
Risoluzione dell'Esercizio 2
Dotando un qualsiasi insieme X della topologia banale, si ottiene che per ogni SÍ X vale Fr(S) = S.
Dotando un qualsiasi insieme X della topologia discreta, si ottiene che per ogni SÍ X vale Int(S) = S.
Risoluzione dell'Esercizio 3
{
a} è aperto, quindi Int({a})={a}, Fr({a})={b, c, d, e};Int({e})=Æ, Fr({e})={e};
Int({d, e})=Æ, Fr({d, e})={c, d, e};
Int({a, c})={a} , Fr({a, c})={b, c, d, e};
Int({a, b})={a, b}, Fr({a, b})={c, d, e};
Int({a, d, e})={a} , Fr({a, d, e})={b, c}.
Risoluzione dell'Esercizio 4
Int(A) = Æ, Est(A) = Æ, Fr(A) = R3; |
Int(B) = Æ, Est(B) = R3 \ B, Fr(B) = B; |
Int(C) = Æ, Est(C) = R3 \ C, Fr(C) = C. |
Risoluzione dell'Esercizio 5
Int(A) = {(x, y)ÎR2; x>0}
Est(A) = {(x, y)ÎR2; x<0}
Fr(A) = {(x, y)ÎR2; x = 0}
Int(B) = Æ,
Est(B) = {(x, y)ÎR2; x<0}
Fr(B) = {(x, y)ÎR2; x³ 0}