Risoluzione dell'Esercizio 1

Per definizione l'interno (o parte interna) di un insieme è il più grande aperto contenuto nell'insieme stesso.

Abbiamo: Int(Z) = Æ , Int(S2) = (0,1).

L'esterno di un insieme è Est(S) = Int(X \ S).

Abbiamo:

Est(Z) = R \ Z, Est(S2) = (- , 0) È (1, +).

Usiamo l'uguaglianza R = Int(S) È Est(S) È Fr(S) per determinare le frontiere:

Fr(Z) = Z, Fr(S2) = {0}È{1} .

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 2

Dotando un qualsiasi insieme X della topologia banale, si ottiene che per ogni SÍ X vale Fr(S) = S.

Dotando un qualsiasi insieme X della topologia discreta, si ottiene che per ogni SÍ X vale Int(S) = S.

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 3

{a} è aperto, quindi Int({a})={a}, Fr({a})={b, c, d, e};

Int({e})=Æ, Fr({e})={e};

Int({d, e})=Æ, Fr({d, e})={c, d, e};

Int({a, c})={a} , Fr({a, c})={b, c, d, e};

Int({a, b})={a, b}, Fr({a, b})={c, d, e};

Int({a, d, e})={a} , Fr({a, d, e})={b, c}.

 

 


 

 

Risoluzione dell'Esercizio 4

Int(A) = Æ,

Est(A) = Æ,

Fr(A) = R3;

Int(B) = Æ,

Est(B) = R3 \ B,

Fr(B) = B;

Int(C) = Æ,

Est(C) = R3 \ C,

Fr(C) = C.

 

 


 

Risoluzione dell'Esercizio 5

Int(A) = {(x, y)ÎR2; x>0}

Est(A) = {(x, y)ÎR2; x<0}

Fr(A) = {(x, y)ÎR2; x = 0}

Int(B) = Æ,

Est(B) = {(x, y)ÎR2; x<0}

Fr(B) = {(x, y)ÎR2; x 0}