Per definizione l'interno (o parte interna) di un insieme è il più grande aperto contenuto nell'insieme stesso.

Abbiamo: Int(Z) = Æ , Int(S₂) = (0,1).

L'esterno di un insieme è Est(S) = Int(X \ S).

Abbiamo:

Est(Z) = R \ Z, Est(S₂) = (-¥ , 0) È (1, +¥).

Usiamo l'uguaglianza R = Int(S) È Est(S) È Fr(S) per determinare le frontiere:

Fr(Z) = Z, Fr(S₂) = {0}È{1} .

Dotando un qualsiasi insieme X della topologia banale, si ottiene che per ogni SÍ X vale Fr(S) = S.

Dotando un qualsiasi insieme X della topologia discreta, si ottiene che per ogni SÍ X vale Int(S) = S.

{a} è aperto, quindi Int({a})={a}, Fr({a})={b, c, d, e};

Int({e})=Æ, Fr({e})={e};

Int({d, e})=Æ, Fr({d, e})={c, d, e};

Int({a, c})={a} , Fr({a, c})={b, c, d, e};

Int({a, b})={a, b}, Fr({a, b})={c, d, e};

Int({a, d, e})={a} , Fr({a, d, e})={b, c}.

Int(A) = {(x, y)ÎR²; x>0}

Est(A) = {(x, y)ÎR²; x<0}

Fr(A) = {(x, y)ÎR²; x = 0}

Int(B) = Æ,

Est(B) = {(x, y)ÎR²; x<0}

Fr(B) = {(x, y)ÎR²; x³ 0}