1. Siano x, y Î Rⁿ \ {0} . Se il segmento xy è tutto contenuto in Rⁿ \ {0}, tale segmento è l’arco che connette x con y. Se invece tale segmento passa per 0, basta considerare un punto z non allineato con x e y (il che è sempre possibile con n>1) e considerare l’arco ottenuto per composizione dei due archi che hanno per supporto i segmenti xz e zy.
2. Sia r una retta contenuta in R³, dimostriamo che R³ \ {r} è connesso per archi. Consideriamo una coppia di punti x, y Î R³ \ {r}, se il segmento che li congiunge non interseca r, allora quel segmento è l'arco che cerchiamo.

Se il segmento xy interseca r, allora consideriamo un punto p Î R³ \ {r} che non appartiene al piano costituito dal segmento xy e da r. L'arco cercato è la spezzata xpy.

3. R³ \ {piano} non è connesso per archi perché non è connesso.

A, B, D, E sono connessi per archi.

C è costituito da due componenti connesse D₁(-1,0) e D₁(1,0).