Supponiamo per assurdo che esiste un omeomorfismo f: X ® Y e sia p Î X il punto che ha come immagine il punto di tangenza delle due circonferenze.

Allora f_{|X\{ p}} : X \ {p} ® Y \ {f(p)} è ancora un omeomorfismo.

Ma è un assurdo perché X \ {p} è connesso, mentre Y \ {f(p)} è sconnesso.

  Supponiamo per assurdo che esista f: (a, b] ® (c, d) omeomorfismo.

Sia p Î R tale che c<p<d il punto immagine di b.

Allora f_{|(a, b]\{ b}} : (a, b] ® (c, d) \ {f(b)} è ancora un omeomorfismo. Ma (a, b] \ {b} è connesso mentre (c, d) \ {p} non lo è!

1. Esistono sottoinsiemi di (R², e) connessi la cui frontiera è sconnessa, infatti un esempio è l'insieme {(x, y) Î R²; 0<x<1} la cui frontiera è

{(0, y) Î R²} È { (1, y) Î R²}

2. Esistono sottoinsiemi di (R², E) sconnessi la cui frontiera è connessa, infatti un esempio è l'insieme {(x, y) Î R²; x² + y² < 1} È {(x, y) Î R²; (x-2)² + y² < 1} la cui frontiera è

{(x, y) Î R²; x² + y² = 1} È {(x, y) Î R²; (x-2)² + y² = 1}

che è un insieme connesso.

Basta osservare che un qualunque punto di Y non lo sconnette, mentre esiste un punto che sconnette Z.

Assumiamo per assurdo che esiste un omeomorfismo f: X ® S¹. Sia x Î S¹ tale che f((0,0)) = x, allora la restrizione f_{| X \ {(0,0)}} : X \ {(0,0)} ® S¹ \ {x} è ancora un omeomorfismo, ma X \ {(0,0)} è sconnesso, mentre S¹ \ {x} è connesso.