Esempi sulle topologie e gli spazi topologici

 

 

 

Esempio 1

 

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} la famiglia di sottoinsiemi di X: {, X, {1, 2}, {3}, {1, 2, 3}} una topologia. Infatti , X appartengono alla famiglia ed immediato vedere che lunione e lintersezione di una qualunque famiglia di elementi della famiglia, appartiene ancora ad essa.

 

 

 

Esempio 2

 

X = {a, b, c, d}; t1 = {X, , {a}, {a, b}, {a, c, d}};

t2 = {X, , {a}, {c, d}, {a, c, d}};

le famiglie t1 e t2 sono topologie, mentre:

t3 = {X, , {a, b, c}, {b, c, d}} non una topologia perch

{a, b, c} {b, c, d} t3;

t4 = {X, , {b, c}, {a, b, c}, {c, d}} non una topologia perch

{b, c} {c, d} t4;

t5 = {, {b}, {b, c}, {b, c, d}} non una topologia perch X t5.

 

 

 

Esempio 3

 

Siano l'insieme X = {a, b, c, d} e la famiglia di sottoinsiemi di X: t1 = {X, , {a}, {a, b}, {a, c, d}}, allora facile vedere che (X, t1) uno spazio topologico.

 

 

 

Esempio 4

 

Siano l'insieme X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la famiglia di sottoinsiemi di X: t = {X, ,{1, 2}, {3}, {1, 2, 3}}, allora facile vedere che (X, t) uno spazio topologico.

 

 

 

Esempio 5

 

Sia X = {1, 2, 3};

la topologia banale su X t1 = {, X};

la topologia discreta su X t2 = {, X, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}};

la topologia cofinita su X t3 = t2 infatti, essendo X finito, ogni elemento di t2 ha come complementare in X un insieme finito.

 

 

 

Esempio 6

 

La famiglia di sottoinsiemi di R costituita da: , R e dagli intervalli (a, +) con aR una topologia su R.

 

 

 

Esempio 7

 

Linsieme {(x, y) R2; (x-3)2 + (y-3)2 < 1 oppure (x-3)2 + (y-7)2 < 4 oppure (x-6)2 + (y-6)2 < 9} un aperto in R2 con la topologia euclidea, perch unione di dischi aperti.

 

 

Esempio 8

 

Sia t una qualunque topologia su un insieme X, la topologia banale su X meno fine di t.

Sia k la topologia discreta su X, allora una qualunque topologia t su X meno fine di k.

 

 

 

Esempio 9

 

Sia X = {a, b, c, d} e siano t = {X, , {a}, {a, c, d}} e s = {X, , {a}, {c, d}, {a, c, d}} due topologie su X, allora t meno fine di s.

 

 

 

Esempio 10

 

Sia X = {a, b, c, d} le topologie su X

t1 = {X, , {a}, {a, b}, {a, c, d}} e t2 = {X, , {a}, {c, d}, {a, c, d}} non sono confrontabili.