Dimostrazione

 

 

 

a)      C chiuso S \ C aperto in S $ A aperto in X tale che AS = S \ C C = X \ (AS)

b)      Sia A un aperto di S e B un aperto di X tale che A = BS. Poich B una base di X si ha B = Bj con Bj B e perci A = BS = (Bj)S = ( Bj S), poich ogni Bj S appartiene allinsieme considerato, ci prova che si tratta di una base per la topologia tS.

c)      Se U un intorno di x in X, esiste un aperto B di X tale che x B U, allora A = SB un aperto di S tale che x A US = U, e quindi U un intorno di x in S. Se viceversa U intorno di x in S ed A un aperto di S tale che x A U, esiste un aperto B di X tale che A = BS. Poniamo U = BU. Allora x B U, quindi U un intorno di x in X e US = U.

d)      Se A T aperto nella topologia relativa di T in S esiste A aperto in S tale che A = AT; per la definizione di topologia relativa di S in X esiste un aperto U di X tale che B = US; quindi A = T(SU) = TU aperto nella topologia relativa di T in X. Il viceversa si dimostra in modo simile.

e)      S = Kj, dove Kj sono tutti i chiusi in S che contengono W; "j, $ Kj chiuso in X tale che Kj = Kj S, quindi

e)      *S = Kj, dove Kj sono tutti i chiusi in S che contengono W; "j, $ Kj chiuso in X tale che Kj = Kj S, quindi *S = Kj = (Kj S) = (Kj) S = *X S.