Dimostrazione

 

 

 

a)      C chiuso Û S \ C aperto in S Û $ A’ aperto in X tale che A’ÇS = S \ C Û C = X \ (A’ÇS)

b)      Sia A un aperto di S e B un aperto di X tale che A = BÇS. Poiché B è una base di X si ha B =  È B_j con B_j Î B e perciò A = BÇS = (ÈB_j)ÇS = È( B_j ÇS), poiché ogni B_j ÇS appartiene all’insieme considerato, ciò prova che si tratta di una base per la topologia t_S.

c)      Se U’ è un intorno di x in X, esiste un aperto B di X tale che x Î B Í U’, allora A = SÇB è un aperto di S tale che x Î A Í U’ÇS = U, e quindi U è un intorno di x in S. Se viceversa U è intorno di x in S ed A un aperto di S tale che x Î A Í U, esiste un aperto B di X tale che A = BÇS. Poniamo U’ = BÈU. Allora x Î B Í U’, quindi U’ è un intorno di x in X e U’ÇS = U.

d)      Se A Í T è aperto nella topologia relativa di T in S esiste A’ aperto in S tale che A = A’ÇT; per la definizione di topologia relativa di S in X esiste un aperto U di X tale che B = UÇS; quindi A = TÇ(SÇU) = TÇU è aperto nella topologia relativa di T in X. Il viceversa si dimostra in modo simile.

e)      ^S = Ç K_j, dove K_j sono tutti i chiusi in S che contengono W; "j, $ K’_j  chiuso in X tale che K_j = K’_j Ç S, quindi

e)      ^S = Ç K_j, dove K_j sono tutti i chiusi in S che contengono W; "j, $ K’_j  chiuso in X tale che K_j = K’_j Ç S, quindi ^S = ÇK_j = Ç (K’_j ÇS) = (ÇK’_j) Ç S = ^X ÇS.