Dimostrazione
a)
;
è l'intersezione di
tutti i chiusi che contengono S, ma
è un chiuso che
contiene S, quindi
;
b)
È
è un chiuso
contenente S e T (quindi l'unione S È
T), essendo
l'intersezione di
tutti i chiusi che contengono S È
T, allora vale
;
d'altra parte dal punto
a) sappiamo S Í S È T Þ
ed anche T Í
SÈT Þ
da cui otteniamo
;
c) usiamo ancora
l'affermazione al punto a):
SÇT Í
S Þ
ed anche SÇT Í
T Þ
da cui
.