Dimostrazione

 

 

 

 

a)      Sia x Î X e U un intorno di x, sappiamo che $ A aperto tale che x Î A Í U. A si scrive come unione di elementi della base B, qualcuno di questi elementi B_i conterrà x, quindi abbiamo x Î B_i Í A Í U. Questi B_i appartengono a B (x) che quindi è una base di intorni.

b)      Vogliamo dimostrare che ogni aperto A di t si può scrivere come unione di elementi di B (x) con x Î X: A è intorno di ogni x Î A, quindi " x Î A, $ B_x Î B (x) tale che B_x Í A; quindi A Í Í A.