Dimostriamo l'implicazione (Þ):
B₁ e B₂ sono equivalenti, allora t è la topologia indotta dalle due basi. Abbiamo che "xÎX e "A₁ÎB₁ con xÎA₁,   A₁ è un aperto di t, allora si può scrivere come unione di elementi di B₂; uno di questi elementi (chiamiamolo A₂) contiene il punto x. Da ciò si ottiene: xÎA₂ÍA₁.
Allo stesso modo si vede il punto b).

Dimostriamo l'implicazione (Ü):
Siano t₁ e t₂ le topologie indotte ripettivamente dalle basi B₁ e B₂ a): consideriamo un qualsiasi aperto A di t₁; "xÎA e "A₁ ÎB₁ con xÎA₁, allora $A₂ ÎB₂ tale che xÎA₂ÍA₁, quindi risulta che : unione di elementi di B₂, per cui A è aperto di t₂.
In questo modo otteniamo che t₁Ít₂.
Analogamente da b) si vede che t₂Ít₁.
Otteniamo, quindi, che t₁=t₂.