Dimostrazione

 

 

 

 

 

Se tB esiste allora unica perch ogni suo aperto deve essere unione di elementi di B e, viceversa, ogni unione di elementi di B deve stare in tB perch gli elementi di B sono aperti in tB. Quindi tB deve coincidere con la famiglia dei sottoinsiemi di X che sono unione di elementi di B.

Definiamo la famiglia tB in questo modo:

A tB A unione di elementi di B;

verifichiamo che tB una topologia e quindi che rispetti le condizioni a), b),c) della definizione1.1:

* B tB, inoltre X unione di elementi di B X tB;

* consideriamo una qualunque famiglia di elementi Ai appartenenti a tB Ai unione di elementi di B l'unione degli elementi di questa famiglia unione di elementi di B quindi appartiene a tB;

* consideriamo un insieme finito di elementi di tB sono unione di elementi di B, usando l'ipotesi c) otteniamo che l'intersezione finita di elementi di tB unione di elementi di B appartiene a tB.