Dimostrazione

 

 

 

 

 

Se t_B esiste allora è unica perché ogni suo aperto deve essere unione di elementi di B e, viceversa, ogni unione di elementi di B deve stare in t_B perché gli elementi di B sono aperti in t_B. Quindi t_B deve coincidere con la famiglia dei sottoinsiemi di X che sono unione di elementi di B.

Definiamo la famiglia t_B in questo modo:

A Î t_B Û A è unione di elementi di B;

verifichiamo che t_B è una topologia e quindi che rispetti le condizioni a), b),c) della definizione1.1:

   Æ Î B Þ Æ Î t_B, inoltre X è unione di elementi di B Þ X Î t_B;

   consideriamo una qualunque famiglia di elementi A_i appartenenti a t_B Þ A_i è unione di elementi di B Þ l'unione degli elementi di questa famiglia è unione di elementi di B quindi appartiene a t_B;

   consideriamo un insieme finito di elementi di t_B Þ sono unione di elementi di B, usando l'ipotesi c) otteniamo che l'intersezione finita di elementi di t_B è unione di elementi di B Þ appartiene a t_B.