Dimostrazione
Usiamo
la definizione di sottoinsieme chiuso di X e la definizione di
topologia:
a) l’insieme vuoto
appartiene ad F perché complementare di X in X (infattiÆ = X \ X),
X
appartiene ad F perché complementare di Æ in X (infatti X =
X \ Æ);
b) consideriamo l’intersezione
di una famiglia di chiusi
, sappiamo che
X \ (Ç
Ci) = È
(X \
Ci) che risulta essere un aperto, quindi l’intersezione sarà
un chiuso;
c) consideriamo l’unione di
una famiglia finita di chiusi C1 È … È
Cn, sappiamo che
X \ (È Ci) = Ç (X \ Ci) che risulta un
aperto, quindi l’unione sarà un chiuso.