Dimostrazione

 

 

 

 

Usiamo la definizione di sottoinsieme chiuso di X e la definizione di topologia:

 

a)      l’insieme vuoto appartiene ad F perché complementare di X in X (infattiÆ = X \ X),

X appartiene ad F perché complementare di Æ in X (infatti X = X \ Æ);

b)      consideriamo l’intersezione di una famiglia di chiusi , sappiamo che

X \ (Ç Ci) = È (X \ Ci) che risulta essere un aperto, quindi l’intersezione sarà un chiuso;

c)      consideriamo l’unione di una famiglia finita di chiusi C1 ÈÈ Cn, sappiamo che

X \ (È Ci) = Ç (X \ Ci) che risulta un aperto, quindi l’unione sarà un chiuso.