Dimostrazione

 

 

 

Vediamo che Omeo(X) è chiuso per l'operazione di composizione:

siano g : X ® Y e f : Y ® Z omeomorfismi, sappiamo che fg è continua ed anche biunivoca, sia A aperto di X Þ g (A) è aperto di Y Þ f(g(A)) è aperto di Z Þ fg è bicontinua Þ omemorfismo;

 

vale la proprietà associativa:

è  immediato osservare che

(fg)h = f(gh);

esistenza dell'elemento neutro per l'operazione di composizione:

sia idX (idX(x))= x, " x Î X) tale che

fidX = idY f = f,

     "f : X ® Y omeomorfismo;

 

esistenza dell'opposto per un omeomorfismo rispetto alla composizione:

sia f Î Omeo(X), allora $ f –1 tale che

(f –1)f = f(f –1) = idX.