a) Û b) f ^-1 (Y \ T) = X \ f ^-1 (T);

a) Þ c) vogliamo provare che, fissato comunque x Î X, si ha la continuità in x. Sia V un intorno di f (x), allora $ A aperto tale che f (x) Î A Í V, quindi f ^-1 (A) è aperto, x Î f ^-1 (A) tale che f (f ^-1 (A)) Í A

c) Þ a) Sia A un aperto di Y, vogliamo provare che f ^-1 (A) è intorno di ogni suo punto. Sia x Î f -1(A) Þ f(x) Î A. A è aperto quindi è intorno di f (x), per la continuità in x: $ U intorno di x tale che f (U) Í A, U Í f ^-1 (f (U)) Í A

c) Þ d) x Î X, sia V un intorno di f (x), V Î B'(f (x)) allora per ipotesi $ U intorno di x tale che f (U) Í V. So che $ U' Î B(x), U' Í U quindi f(U') Í f(U) Í V;

d) Þ c) Siano V un intorno di f (x) e V'Î B'(f (x)) tale che V' Í V, sia U Î B(x) tale che f (U) Í V' Í f (U) Í V