Dimostrazione

 

 

 

Sia Y un sottoinsieme di X connesso per archi e siano p, q Î Y, allora $ un arco a in Y tale che a(0) = p e a(1) = q; sia i: Y ® X l'inclusione (continua), i a è arco in X di estremi p e q Þ pRq Þ q Î Ca(p) Þ Y Í Ca(p).

D'altra parte Ca(p) è connesso per archi, infatti se q Î Ca(p) Þ $ a arco in X tale che a(0) = p e a(1) =q, basta far vedere che l'arco è contenuto in Ca(p):

definiamo l'arco bs: [0, 1] ® X con bs (t) = a (ts) con s, t Î [0, 1], così definito bs ha estremi p e a(s), quindi a(s) Î Ca(p) "s Î [0, 1] Þ a([0, 1]) Í Ca(p).