Dimostrazione

 

 

 

Sia Y un sottoinsieme di X connesso per archi e siano p, q Y, allora $ un arco a in Y tale che a(0) = p e a(1) = q; sia i: Y X l'inclusione (continua), i a arco in X di estremi p e q pRq q Ca(p) Y Ca(p).

D'altra parte Ca(p) connesso per archi, infatti se q Ca(p) $ a arco in X tale che a(0) = p e a(1) =q, basta far vedere che l'arco contenuto in Ca(p):

definiamo l'arco bs: [0, 1] X con bs (t) = a (ts) con s, t [0, 1], cos definito bs ha estremi p e a(s), quindi a(s) Ca(p) "s [0, 1] a([0, 1]) Ca(p).