Dimostrazione

 

 

 

Intanto osserviamo che basta dimostrare l'implicazione per Z = , infatti supponiamo di aver già provato Y connesso Þ  connesso:

sia Y Í Z Í , in generale se A Í B Í X allora ^B = ^X Ç B; nel nostro caso

^Z = ^X Ç Z = Z quindi possiamo scrivere:

Y connesso Þ ^Z connesso Þ Z connesso.

 

Ora proviamo "Y connesso Þ  connesso":

assumiamo per assurdo  non connesso Þ  = A È B unione di aperti non vuoti e disgiunti, A Ç Y e B Ç Y sono aperti in Y,

(AÇY) È (BÇY) = (AÈB) Ç Y = Y Ç Y = Y, inoltre (AÇY) Ç (BÇY) = (AÇB) Ç Y = Æ Ç Y = Æ in questo modo Y risulta sconnesso.