Dimostrazione

 

 

 

Intanto osserviamo che basta dimostrare l'implicazione per Z = , infatti supponiamo di aver gi provato Y connesso connesso:

sia Y Z , in generale se A B X allora B = X B; nel nostro caso

Z = X Z = Z quindi possiamo scrivere:

Y connesso Z connesso Z connesso.

 

Ora proviamo "Y connesso connesso":

assumiamo per assurdo non connesso = A B unione di aperti non vuoti e disgiunti, A Y e B Y sono aperti in Y,

(AY) (BY) = (AB) Y = Y Y = Y, inoltre (AY) (BY) = (AB) Y = Y = in questo modo Y risulta sconnesso.