Dimostrazione

 

 

 

Sia J un intervallo, proviamo che un connesso; assumiamo per assurdo che JAB dove A, B sono chiusi di R tali che AJ ,

BJ , (AJ) (BJ)=

 

Sia a AJ e b BJ posso supporre a < b;

J intervallo [a, b] J; A[a, b] chiuso.

Essendo A [a, b] , $ z = sup(A[a, b]) e

certamente a z b. Proviamo che z AB e cos si avr l'assurdo:

essendo A [a, b] chiuso, dalla definizione di sup segue che z A[a, b]; z aderente ad A[a, b] e quindi z A[a, b] z A;

se z = b allora z B siamo a posto,

se z < b allora (s, b] B (altrimenti $ c (z, b] tale che c B quindi c A cio c A[a, b] e c > z che contraddice il fatto che z sia il sup), quindi z aderente a B che chiuso z B.

 

Viceversa se Y R connesso, allora Y un intervallo,

infatti se non lo fosse $ a, b, c R tali che a < b < c e a, c Y e b Y, ma allora Y=((-, b)Y)((b, +)Y) cio Y non sarebbe connesso.