Dimostrazione

 

 

 

Sia J un intervallo, proviamo che è un connesso; assumiamo per assurdo che JÍAÈB dove A, B sono chiusi di R tali che AÇJ ¹ Æ,

BÇJ ¹ Æ,  (AÇJ) Ç (BÇJ)=Æ

 

Sia a Î AÇJ e bÎ BÇJ posso supporre a < b;

J intervallo Þ [a, b] Í J; AÇ[a, b] è chiuso. 

Essendo A Ç [a, b] ¹ Æ, $ z = sup(AÇ[a, b]) e

certamente a £ z £ b. Proviamo che z Î AÇB e così si avrà l'assurdo:

essendo A Ç [a, b] chiuso, dalla definizione di sup segue che z Î AÇ[a, b]; z è aderente ad AÇ[a, b] e quindi z Î AÇ[a, b] Þ z Î A;

se z = b allora z Î B siamo a posto,

se z < b allora (s, b] Í B (altrimenti $ c Î (z, b] tale che c Ï B quindi c Î A cioè c Î AÇ[a, b] e c > z che contraddice il fatto che z sia il sup), quindi z è aderente a B che è chiuso Þ z Î B.

 

Viceversa se Y Í R è connesso, allora Y è un intervallo,

infatti se non lo fosse $ a, b, c Î R tali che a < b < c e a, c Î Y e b Ï Y, ma allora Y=((-¥, b)ÇY)È((b, +¥)ÇY) cioè Y non sarebbe connesso.