Dimostrazione

 

 

 

Facciamo una premessa:      sia S un sottoinsieme connesso di X, S Í A È B con A e B aperti non vuoti e disgiunti, allora S Í A oppure S Í B infatti, se non fosse così, potremmo scrivere S = (SÇA) È (SÇB) unione di aperti in S non vuoti e disgiunti Þ S sconnesso; quindi vale SÇA = Æ oppure SÇB = Æ, da cui S = SÇA oppure S = SÇB.

 

Torniamo alla proposizione:

assumiamo per assurdo che $ A, B aperti, non vuoti, disgiunti tali che AÈB = YÈZ, per ipotesi Y è connesso, quindi Y Í A oppure Y Í B, questo vale anche per Z, inoltre si esclude che YÈZ sia contenuto completamente in A (oppure in B) perché in tal caso B (oppure A) sarebbe vuoto; quindi non perdiamo di generalità assumendo Y Í A e Z Í B Þ AÇB Ê YÇZ ¹ Æ.