Dimostrazione

 

 

 

Facciamo una premessa: sia S un sottoinsieme connesso di X, S A B con A e B aperti non vuoti e disgiunti, allora S A oppure S B infatti, se non fosse cos, potremmo scrivere S = (SA) (SB) unione di aperti in S non vuoti e disgiunti S sconnesso; quindi vale SA = oppure SB = , da cui S = SA oppure S = SB.

 

Torniamo alla proposizione:

assumiamo per assurdo che $ A, B aperti, non vuoti, disgiunti tali che AB = YZ, per ipotesi Y connesso, quindi Y A oppure Y B, questo vale anche per Z, inoltre si esclude che YZ sia contenuto completamente in A (oppure in B) perch in tal caso B (oppure A) sarebbe vuoto; quindi non perdiamo di generalit assumendo Y A e Z B AB YZ .