Dimostrazione
Facciamo una premessa:
sia S un sottoinsieme connesso di X, S Í A È B con A e B aperti non vuoti e disgiunti, allora
S Í A oppure S Í B infatti, se non fosse così,
potremmo scrivere S = (SÇA) È (SÇB) unione di aperti in S non vuoti e disgiunti Þ S sconnesso; quindi vale SÇA = Æ oppure SÇB = Æ, da cui S = SÇA oppure S = SÇB.
Torniamo alla proposizione:
assumiamo per assurdo che $
A, B aperti, non vuoti, disgiunti tali che AÈB = YÈZ, per ipotesi Y è connesso, quindi Y Í A oppure Y Í B, questo vale anche per Z,
inoltre si esclude che YÈZ sia contenuto completamente in A (oppure in B)
perché in tal caso B (oppure A) sarebbe vuoto; quindi non
perdiamo di generalità assumendo Y Í
A e Z Í B Þ AÇB Ê YÇZ ¹ Æ.