Dimostrazione

 

 

 

a)      Int(T) è unione di tutti gli aperti contenuti in T, ma Int(S) Í S Í T quindi Int(S) è un aperto contenuto in T, quindi è contenuto in Int(T);

b)      Proviamo l'inclusione "Í":

" x Î Int (SÇT) $ Ux intorno di x tale che Ux Í SÇT Þ Ux Í S e Ux Í T quindi x appartiene a Int(S) e Int(T) Þ appartiene alla loro intersezione;

proviamo l'inclusione "Ê":

" x Î Int(S) Ç Int(T) significa che x Î Int(S) e x Î Int(T) Þ $ Ux e Vx tali che Ux ÍS e Vx ÍT ma x Î Ux ÇVx che è un suo intorno contenuto in S Ç T;

c)      Proviamo l'inclusione "Í":

" x Î Int (SÈT) $ Ux intorno di x tale che Ux Í SÈT Þ Ux Í S oppure Ux Í T quindi x appartiene a Int(S) oppure Int(T) Þ appartiene alla loro unione;

proviamo l'inclusione "Ê":

" x Î Int(S) È Int(T) significa che x Î Int(S) oppure x Î Int(T) Þ $ Ux e Vx tali che Ux ÍS e Vx ÍT ma x Î Ux È Vx che è un suo intorno contenuto in SÈT;

d)      l'interno di un aperto è l'insieme stesso, Int(S) è aperto quindi il suo interno è Int(S) stesso.