Connessione per archi

 

In questa sezione indicheremo con [0, 1] = I l’intervallo chiuso in R con la topologia indotta da quella euclidea su R.

Definizione 3.1 Sia X uno spazio topologico, un arco di X è una applicazione continua

a : [0, 1] ® X
I punti a (0) e a (1) sono detti gli estremi dell’arco, a (0) è il punto iniziale dell’arco e a (1) è il punto finale dell’arco.

 

Definizione 3.2 Uno spazio topologico X tale che " a, b Î X esiste un arco a in X di punto iniziale a e punto finale b è detto connesso per archi. Un sottoinsieme S di X è detto connesso per archi se con la topologia indotta, S è uno spazio topologico connesso per archi.

 

Proposizione 3.3 Uno spazio topologico X connesso per archi è connesso.

Dimostrazione

Attenzione!! Non vale il viceversa, cioè connesso non implica connesso per archi!

 

Esempio

 

Proposizione 3.4 Sia f : X ® Y continua; X connesso per archi Þ f(X) è connesso per archi.

 

Dimostrazione

 

Osservazione 3.5 La connessione per archi è una proprietà topologica.

 

Proposizione 3.6 La relazione R definita su uno spazio topologico X da: "x, y Î X, xRy Û $ un arco a di X con a (0) = x e a (1) = y" è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione

 

Definizione 3.7 Le classi di equivalenza rispetto a R (definita sopra) sono dette componenti connesse per archi di X.

Per ogni p Î X la componente connessa per archi che contiene p è denotata con Ca(p)

 

 

Proposizione 3.8 Per ogni punto x di uno spazio topologico X, Ca(x) è il più grande sottoinsieme di X connesso per archi che contiene x.

Dimostrazione

 

 

Esempi Esercizi