Definizione 1.1 Uno spazio topologico X è detto connesso se vale una delle seguenti condizioni:

  non esistono due aperti A e B di X che siano entrambi non vuoti, disgiunti, cioè
A Ç B = Æ e tali che A È B = X   non esistono due chiusi C e D di X che siano entrambi non vuoti, disgiunti e tali cheC È D = X   non esiste un sottoinsieme proprio S di X che sia contemporaneamente aperto e chiuso in X.

 

Proposizione 1.2 Le tre condizioni della definizione 1.1 sono equivalenti.

Dimostrazione

Definizione 1.3 Se uno spazio topologico non è connesso, si dice che è sconnesso

Osservazione 1.4 Un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è detto connesso se lo è con la topologia indotta.

Consideriamo ora R con la topologia euclidea.
E’ possibile dare una caratterizzazione di tutti i sottoinsiemi connessi della retta euclidea R:
Teorema 1.5 Tutti e soli i connessi della retta reale (con la topologia euclidea) sono gli intervalli.

Dimostrazione

Osservazione 1.6 Nel teorema precedente si parla di intervalli di R senza specificare se chiusi o aperti, limitati o illimitati. In particolare tutta la retta è un intervallo, quindi il teorema ci assicura che la retta R con la topologia euclidea è uno spazio connesso.

Proposizione 1.7 Sia f : X ® Y continua e X connesso, allora f (X) è connesso.

Dimostrazione

Osservazione 1.8 La connessione è una proprietà topologica.

Esempi

Esercizi