1. Si consideri la seguente famiglia F di sottoinsiemi di R²:

F = { B_{a, b}} _{a, b Î R} È Æ dove B_a, b = {(x, y) Î R² | a <x< b} .

1. Provare che è una base per una topologia t su R².
2. (R², t ) è uno spazio connesso?
3. Sia S = {(x, y) Î R² | x = y}, determinare Int(S), Est(S) e Fr(S) nello spazio (R², t).

 

2. In R³ con la topologia euclidea confrontare a coppie i seguenti quattro sottospazi e stabilire quali tra essi sono omeomorfi:

S₁ = {(x, y, z) Î R³ | x² + y² + z² =1, z > 0} ;

S₂ = {(x, y, z) ÎR³ | x + 2y - 3z + 1 =0} ;

S₃ = {(x, y, z) ÎR³ | x² - y² + 2z² = 0} .

Soluzione

1. 1. Vediamo se la famiglia soddisfa le tre condizioni:
      il vuoto appartiene ad F per definizione;
      R² è unione di elementi di F, infatti dato un punto generico (x, y)ÎR² vediamo che esiste almeno un elemento B_a,b che contiene (x, y).
      fissiamo e > 0, allora B_{x-e, x+e} è l'elemento di F che contiene (x, y).
      siano B_a,b e B_c,d elementi di F, se b<c oppure d<a allora B_a,bÇB_c,d = Æ; consideriamo gli intervalli in R: se (a, b) interseca (c, d) allora l'intersezione tra B_a,b e B_c,d è B_a,d oppure B_c,b oppure B_a,b oppure B_c,d, considerando le varie posizioni possibili di due intervalli (a, b) e (c, d) in R.
      Per l'unione si ragiona allo stesso modo.
   2. (R², t) è connesso perché è connesso per archi.
   3. Int(S) = Æ;
      Est(S) = Æ;
      Fr(S) = R².

2. S₃ non è omeomorfo a nessuno degli altri insiemi, perché esiste un punto in S₃ che lo sconnette, mentre nessun punto sconnette S₁ ed S₂
   Abbiamo S₁»S₂.