Esame di Geometria II - 13.9.00

I appello sessione autunnale - a. a. 1999/2000

 

In R2 è dato il sottoinsieme

Y = { (x, y) Î R2 | xy<0 e x2+y21}

  1. determinare Int(Y), Est(Y) e Fr(Y) con R2 munito rispettivamente della topologia euclidea, discreta, cofinita;
  2. supponendo R2 munito della topologia euclidea, stabilire se Y è connesso.

 


 

Soluzione

  1.  

    (R2, e):

    Int(Y) = { (x, y) Î R2 | xy<0 e x2+y2 < 1};

    Est(Y) = R2 \ Y;

    Fr(Y) = { (x, y) Î R2 | xy<0 e x2+y2 = 1}

    (R2, topologia discreta):

    Int(Y) = Y;

    Est(Y) = R2 \ Y;

    Fr(Y) = Æ;

    (R2, topologia cofinita):

    Int(Y) = Æ;

    Est(Y) = Æ;

    Fr(Y) = R2.

  2.  

  3. Y non connesso, infatti Y = {(x, y) Î R2 | x<0 e y>0 e x2+y21} È{ (x, y) Î R2 | x>0 e y<0 e x2+y21}.

    Y unione di due aperti disgiunti nella topologia indotta da e di R2.