Esame di Geometria II - 1.6.99

I appello sessione estiva - a. a. 1998/99

 

Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R2 con la topologia euclidea:

X={(x, y) Î R2; xy=0} ,

Y={(x, y)Î R2; 0<x<1, 2£ y£ 3} .

  1. Si dica se X e Y sono omeomorfi.
  2. Si determinino Est(X), Fr(X), D(XÈ Y).

Soluzione

  1. X e Y non sono omeomorfi.

    Per assurdo assumiamo che esista un omeomorfismo f: X ® Y.

    Sia pÎY tale che f(0) = p, allora la restrizione:

    f| X \ {0} : X \ {0}® Y \ {p} ancora un omeomorfismo,

    ma X \ {0} sconnesso, mentre Y \ {p} connesso, quindi abbiamo un assurdo!

  2. Est(X) = R2 \ X

    Fr(X) = X

    D(XÈY) = XÈYÈ{(0, y); 2£ y£ 3}È{(1, y); 2£ y£ 3}