I appello sessione estiva - a. a. 1998/99

Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R² con la topologia euclidea:

X={(x, y) Î R²; xy=0} ,

Y={(x, y)Î R²; 0<x<1, 2£ y£ 3} .

1. Si dica se X e Y sono omeomorfi.
2. Si determinino Est(X), Fr(X), D(XÈ Y).

1. X e Y non sono omeomorfi.

   Per assurdo assumiamo che esista un omeomorfismo f: X ® Y.

   Sia pÎY tale che f(0) = p, allora la restrizione:

   f_{| X \ {0}} : X \ {0}® Y \ {p} è ancora un omeomorfismo,

   ma X \ {0} è sconnesso, mentre Y \ {p} è connesso, quindi abbiamo un assurdo!

2. Est(X) = R² \ X

   Fr(X) = X

   D(XÈY) = XÈYÈ{(0, y); 2£ y£ 3}È{(1, y); 2£ y£ 3}