Esame di Geometria II - 8.6.98

I appello sessione estiva - a. a. 1997/98

 

In R2 con la topologia euclidea è assegnato il seguente sottoinsieme:

X = {(x, y) Î R2 | -1£x£1, -3£x£-1 o 1£x£3} .

  1. Determinare Int(X), Est(X), Fr(X).

  2. Determinare un sottoinsieme di X aperto in X e non aperto in R2.

  3. Si consideri in R2 con la topologia cofinita, X è connesso? 

Soluzione

  1. Int(X) = {(x, y) Î R2 |-3<x<3}

    Est(X) = {(x, y) Î R2 | x>3 oppure x< -3}

    Fr(X) = {(x, y) Î R2 | x = 3 oppure x = -3}

  2. un esempio è X stesso che è aperto in X (per definizione di topologia), ma non è aperto come sottoinsieme di R2;

  3. supponiamo per assurdo che X sia sconnesso, allora esistono A, B aperti di X tali che AÈB=X e AÇB=Æ; questi aperti sono della forma:

A = X Ç (R2 \ {a1, …, an}) e B = X Ç (R2 \ {b1, …, bm}),

allora l'intersezione:

AÇB = XÇ[(R2 \ {a1,…, an}) Ç(R2 \ {b1,…, bm})]=XÇ (R2 \ {a1,…,an, b1, …, bm}), ma per essere uguale al vuoto,
X deve essere uguale a {a1,…,an, b1, …, bm }, ma X è finito! In questo modo si ottiene l'assurdo e si dimostra che X è connesso.