Esame di Geometria II - 28.6.95

I appello sessione estiva - a. a. 1994/95

 

Si consideri il sottoinsieme Y = [-1,0]Ç Q di R;

  1. si dica se Y, con la topologia indotta dalla topologia euclidea di R, è connesso.

  2. si dica se Y con la topologia indotta dalla topologia s della semicontinuità inferiore di R, è connesso.

(s = {Æ } È {R} È {(-¥ , a)} aÎ R)

 

Soluzione

  1. Y non è connesso perché ad esempio x = Î (R\Q)Ç [-1,0] tale che

    2. Y=[1-, x)È (x,0]

    unione di due aperti di Y non vuoti e disgiunti.

  2. Y è connesso. Dimostriamolo per assurdo:

assumiamo che esistono due aperti di Y: A e B non vuoti tali che Y = AÈ B e AÇ B = Æ .

Gli aperti sono della forma:

A = (-¥, a) Ç Y

B = (-¥, b) Ç Y

(con a, b Î R) per essere non vuoti, A e B devono essere tali che a, b ³ -1. Supponiamo sia a<b, AÇ B = (-¥ , a)Ç Y = A¹ Æ .