La seguente tabella riporta in forma di distribuzione unitaria doppia i dati delle regioni italiane relativamente al Quoziente di nuzialità (matrimoni per 1000 abitanti) e al Quoziente di natalità (nati per 1000 abitanti).

Soluzione del punto 1:

U: Collettivo formato dalle 20 regioni d'Italia; ogni regione rappresenta la singola unità statistica.

La numerosità del collettivo è n=20.

I caratteri considerati sono: X=Quoziente di nuzialità (matrimoni per 1000 abitanti); Y=Quoziente di natalità (nati per 1000 abitanti). I due caratteri sono di tipo quantitativo continuo.

 

Soluzione del punto 2:

Data la distribuzione unitaria doppia di due caratteri X e Y quantitativi, si definisce baricentro la coppia data dalle medie aritmetiche dei due caratteri.

Per calcolare le due medie aritmetiche utilizziamo quindi le seguenti formule:

Disegniamo ora il grafico di dispersione:

 

Soluzione del punto 3:

Avendo già i valori delle due medie aritmetiche dal punto 2., per calcolare la covarianza tra X e Y possiamo usare la formula:

A partire dalla distribuzione unitaria doppia, ricordando che n=20, calcoliamo dunque:

Da cui risulta:
Possiamo quindi concludere che i due caratteri sono positivamente correlati: al crescere dell'uno, anche l'altro cresce. Nello specifico all'aumentare del quoziente di nuzialità, aumenta anche il quoziente di natalità. Scopriremo poi, mediante l'analisi del coefficiente di Bravais-Pearson, in quanta parte tale correlazione è di tipo lineare.

Questo risultato conferma ciò che si vedeva anche dal grafico di dispersione, nel quale infatti prevalgono gli scostamenti concordi (I e III quadrante), che fanno sì che la covarianza risulti positiva.

 

Soluzione del punto 4:

Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais e Pearson è definito come:

Calcoliamo quindi la deviazione standard dei due caratteri X e Y ricordando i valori delle due medie aritmetiche ottenute al punto 2. e ricordando che n=20.

Da cui seguono: In conclusione risulterà:

Anche questo risultato conferma che i due caratteri sono positivamente correlati.

In particolare si ricordi che il coefficiente di correlazione lineare è un indice relativo che assume valori nell'intervallo [-1,1], assumendo il valore degli estremi nel caso di perfetto legame lineare.

Si osservi dunque che in questo caso il coefficiente di Bravais e Pearson indica che la relazione tra i due caratteri considerati si avvicina molto ad una relazione di tipo lineare.

 

Soluzione del punto 5:

Per calcolare la retta di regressione Y*=a*+b*X bisogna ottenere la coppia (a*, b*) data dalle seguenti formule:

Si noti che il coefficiente di regressione b* è risultato positivo, segno che la retta di regressione avrà pendenza positiva.

Si ottiene quindi la retta di regressione Y*=-6,14+2,88X che si può riportare sul grafico di dispersione:

Si osservi che il valore del coefficiente angolare b*=2,88 ci dice che per ogni aumento unitario del quoziente di nuzialità, il modello prevede un aumento del quoziente di natalità di 2,88.