3.b Il carattere X si dice statisticamente indipendente da Y se, qualunque sia la modalità con cui si manifesta il carattere Y, la distribuzione relativa condizionata di X rimane sempre la stessa, cioè i profili colonna della tabella a doppia entrata sono tutti uguali fra loro. Si dimostra poi che se X è indipendente da Y allora vale anche il viceversa.

Calcoliamo dunque i profili colonna della tabella a doppia entrata:

Evidentemente i profili colonna non sono tutti uguali fra loro. Si può dunque affermare che i due caratteri considerati non sono statisticamente indipendenti.

Si osservi inoltre che un'ulteriore conferma viene data dal calcolo delle frequenze teoriche di indipendenza, definite da che nel caso di indipendenza statistica devono coincidere con quelle empiriche . Per esempio si ha infatti:

3.c Il coefficiente di regressione d* di X in funzione di Y è dato da:

Iniziamo dunque calcolando la covarianza:

Da cui si ottiene:

Calcoliamo ora la varianza di Y:

Si otterrà:

Si osservi che il coefficiente di regressione è negativo, a causa del segno della covarianza, il che indica che la retta di regressione avrà pendenza negativa. Ciò conferma che i due caratteri sono negativamente correlati.