Vogliamo ora in primo luogo definire che cosa vuol dire che una funzione reale di variabile reale, al tendere della variabile x ad un numero reale a, ha come limite un numero reale l .

 

DEFINIZIONE 1

Si dice che l Î R è il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a Î R e si scrive

se "ε>0 esiste un numero δ>0 tale che:

"x  ( | x-a |<d  e  x¹a ) Þ | f(x)-l | <e

Equivalentemente,

 

Si dice che l Î R è il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a Î R e si scrive

se per ogni J_l, di centro l, esiste un intorno I_a di centro a tale che:

 

Naturalmente osserviamo che questa definizione non permette,operativamente,di determinare il limite di una funzione,ma piuttosto di dimostrare che un valore congetturato è effettivamente il limite della funzione.

 

 

Nella definizione precedente abbiamo considerato il caso in cui il limite e il valore verso cui tende la x sono entrambi numeri reali; è importante però considerare anche i casi in cui la x tende ad infinito.

 

 

DEFINIZIONE 2

Si dice che la funzione y = f(x) tende ad infinito per x che tende ad aÎR e si scrive

se " intorno dell’infinito J_¥ esiste un intorno I_a  di centro a tale che:

"x  (x Î I_a e x¹a)   Þ f(x) Î J_¥

Equivalentemente,

 

Si dice che la funzione y = f(x) tende ad infinito per x che tende ad aÎR e si scrive

 

se, fissato comunque un numero M, è possibile determinare in corrispondenza di esso un numero > 0 tale che, per ogni x di I verificante la condizione

,

risulti:

    .

 

In tale caso,la retta x = a è un asintoto verticale per il grafico delle funzione.

 

 

 

DEFINIZIONE 3

Si dice che l ÎR è il limite delle funzione y = f(x) per x che tende all’infinito e si scrive

se " intorno J_l di centro l esiste un intorno I_¥ tale che

"x (x Î I_¥)   Þ   f(x) Î J_l

 

Equivalentemente,

 

Si dice che l ÎR è il limite delle funzione y = f(x) per x che tende all’infinito e si scrive

Se, fissato comunque un numero e>0, è possibile determinare in corrispondenza di esso un numero k_e tale che, per ogni D_f (insieme illimitato superiormente o inferiormente rispettivamente) e minore di k_e , risulti

.

 

In tale caso la retta y = l è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione.

 

 

 

DEFINIZIONE 4

Si dice che le funzione y = f(x) tende all’infinito per x tendente ad infinito e si scrive 

 

se " intorno J_¥ dell’infinito esiste un intorno I_¥ dell’infinito tale che:

"x (x Î I_¥)   Þ  f(x) Î J_¥

 

 

 

DEFINIZIONE 5

Si dice che la funzione y = f(x) , per x tendente ad a da sinistra (o da destra), ha limite sinistro (o destro) e si scrive

se " intorno J_l  esiste un intorno I_a tale che:

"x  (x Î I_a e x < a)     Þ   f(x) Î J_l               ("x   (x Î I_a e x > a)     Þ   f(x) Î J_l)

 

Equivalentemente,

 

Si dice che la funzione y = f(x) , per x tendente ad a da sinistra (o da destra), ha limite sinistro (o destro) e si scrive

se, fissato comunque un numero e>0,  è possibile determinare in corrispondenza di esso un numero > 0 tale che, per ogni x di     verificante la condizione

   

risulti:

.