Vogliamo ora in primo luogo definire che cosa vuol dire che una funzione reale di variabile reale, al tendere della variabile x ad un numero reale a, ha come limite un numero reale l .

 

DEFINIZIONE 1

Si dice che l Ī R č il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a Ī R e si scrive

se "ε>0 esiste un numero δ>0 tale che:

"x  ( | x-a |<d  e  x¹a ) Ž | f(x)-l | <e

Equivalentemente,

 

Si dice che l Ī R č il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a Ī R e si scrive

se per ogni Jl, di centro l, esiste un intorno Ia di centro a tale che:

 

Naturalmente osserviamo che questa definizione non permette,operativamente,di determinare il limite di una funzione,ma piuttosto di dimostrare che un valore congetturato č effettivamente il limite della funzione.

 

esempi

 

Nella definizione precedente abbiamo considerato il caso in cui il limite e il valore verso cui tende la x sono entrambi numeri reali; č importante perņ considerare anche i casi in cui la x tende ad infinito.

 

 

DEFINIZIONE 2

Si dice che la funzione y = f(x) tende ad infinito per x che tende ad aĪR e si scrive

se " intorno dell’infinito J esiste un intorno Ia  di centro a tale che:

"x  (x Ī Ia e x¹a)   Ž f(x) Ī J

Equivalentemente,

 

Si dice che la funzione y = f(x) tende ad infinito per x che tende ad aĪR e si scrive

 

se, fissato comunque un numero M, č possibile determinare in corrispondenza di esso un numero > 0 tale che, per ogni x di I verificante la condizione

,

risulti:

    .

 

In tale caso,la retta x = a č un asintoto verticale per il grafico delle funzione.

 

 

esempi

 

DEFINIZIONE 3

Si dice che l ĪR č il limite delle funzione y = f(x) per x che tende all’infinito e si scrive

se " intorno Jl di centro l esiste un intorno I tale che

"x (x Ī I)   Ž   f(x) Ī Jl

 

Equivalentemente,

 

Si dice che l ĪR č il limite delle funzione y = f(x) per x che tende all’infinito e si scrive

Se, fissato comunque un numero e>0, č possibile determinare in corrispondenza di esso un numero ke tale che, per ogni Df (insieme illimitato superiormente o inferiormente rispettivamente) e minore di ke , risulti

.

 

In tale caso la retta y = l č un asintoto orizzontale per il grafico della funzione.

 

 

esempi

 

DEFINIZIONE 4

Si dice che le funzione y = f(x) tende all’infinito per x tendente ad infinito e si scrive 

 

se " intorno J dell’infinito esiste un intorno I dell’infinito tale che:

"x (x Ī I)   Ž  f(x) Ī J

 

 

esempi

 

DEFINIZIONE 5

Si dice che la funzione y = f(x) , per x tendente ad a da sinistra (o da destra), ha limite sinistro (o destro) e si scrive

se " intorno Jl  esiste un intorno Ia tale che:

"x  (x Ī Ia e x < a)     Ž   f(x) Ī Jl               ("x   (x Ī Ia e x > a)     Ž   f(x) Ī Jl)

 

Equivalentemente,

 

Si dice che la funzione y = f(x) , per x tendente ad a da sinistra (o da destra), ha limite sinistro (o destro) e si scrive

se, fissato comunque un numero e>0,  č possibile determinare in corrispondenza di esso un numero > 0 tale che, per ogni x di     verificante la condizione

   

risulti:

.

 

 

 

esempi

 

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